Pemahaman Rekursif

Rekursif

Salah satu konsep paling dasar dalam ilmu komputer dan pemrograman adalah pengunaan fungsi sebagai abstraksi untuk kode-kode yang digunakan berulang kali. Kedekatan ilmu komputer dengan matematika juga menyebabkan konsep-konsep fungsi pada matematika seringkali dijumpai. Salah satu konsep fungsi pada matematika yang ditemui pada ilmu komputer adalah fungsi rekursif: sebuah fungsi yang memanggil dirinya sendiri.

Kode berikut memperlihatkan contoh fungsi rekursif, untuk menghitung hasil kali dari dua bilangan:

def kali(a, b):
    return a if b == 1 else a + kali(a, b - 1) 

Bagaimana cara kerja fungsi rekursif ini? Sederhananya, selama nilai b bukan 1, fungsi akan terus memanggil perintah a + kali(a, b - 1), yang tiap tahapnya memanggil dirinya sendiri sambil mengurangi nilai b. Mari kita coba panggil fungsi kali dan uraikan langkah pemanggilannya:

kali(2, 4)
  -> 2 + kali(2, 3)
  -> 2 + (2 + kali(2, 2))
  -> 2 + (2 + (2 + kali(2, 1)))
  -> 2 + (2 + (2 + 2))
  -> 2 + (2 + 4)
  -> 2 + 6
  -> 8

Perhatikan bahwa sebelum melakukan penambahan program melakukan pemanggilan fungsi rekursif terlebih dahulu sampai fungsi rekursif mengembalikan nilai pasti (2). Setelah menghilangkan semua pemanggilan fungsi, penambahan baru dilakukan, mulai dari nilai kembalian dari fungsi yang paling terakhir. Mari kita lihat contoh fungsi rekursif lainnya, yang digunakan untuk melakukan perhitungan faktorial:

def faktorial(n):
    return n if n == 1 else n * faktorial(n - 1)

Fungsi faktorial memiliki cara kerja yang sama dengan fungsi kali. Mari kita panggil dan lihat langkah pemanggilannya:

faktorial(5)
  -> 5 * faktorial(4)
  -> 5 * (4 * faktorial(3))
  -> 5 * (4 * (3 * faktorial(2)))
  -> 5 * (4 * (3 * (2 * faktorial(1))))
  -> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
  -> 5 * (4 * (3 * 2))
  -> 5 * (4 * 6)
  -> 5 * 24
  -> 120

Dengan melihat kemiripan cara kerja serta kode dari fungsi faktorial dan kali, kita dapat melihat bagaimana fungsi rekursif memiliki dua ciri khas:

1. Fungsi rekursif selalu memiliki kondisi yang menyatakan kapan fungsi tersebut berhenti. Kondisi ini harus dapat dibuktikan akan tercapai, karena jika tidak tercapai maka kita tidak dapat membuktikan bahwa fungsi akan berhenti, yang berarti algoritma kita tidak benar.
2. Fungsi rekursif selalu memanggil dirinya sendiri sambil mengurangi atau memecahkan data masukan setiap panggilannya. Hal ini penting diingat, karena tujuan utama dari rekursif ialah memecahkan masalah dengan mengurangi masalah tersebut menjadi masalah-masalah kecil.

Setiap fungsi rekursif yang ada harus memenuhi kedua persyaratan di atas untuk memastikan fungsi rekursif dapat berhenti dan memberikan hasil. Kebenaran dari nilai yang dihasilkan tentu saja memerlukan pembuktian dengan cara tersendiri.

Analisis Algoritma Rekursif¶

Melakukan analisis untuk algoritma rekursif pada dasarnya sama dengan melakukan analisis terhadap algoritma imparatif lain. Perbedaan utama pada algoritma rekursif ialah kita tidak dapat secara langsung melihat berapa kali bagian rekursif dari algoritma akan dijalankan. Pada algoritma yang menggunakan perulangan for misalnya, kita dapat langsung menghitung jumlah perulangan untuk menghitung total langkah yang dibutuhkan. Dalam algoritma rekursif, jumlah perulangan tidak secara eksplisit bisa didapatkan karena informasi yang kita miliki adalah kapan algoritma berhenti, bukan berapa kali kode dieksekusi.
Misalnya, algoritma perhitungan faktorial yang telah dibahas sebelumnya:

def faktorial(n):
    return n if n == 1 else n * faktorial(n - 1)

Salah satu informasi yang didapatkan di sini adalah kapan algoritma berhenti melakukan rekursif, yaitu n == 1. Informasi lain yang kita miliki adalah berkurangnya jumlah data pada setiap pemanggilan faktorial. Bagaimana kita melakukan analisis algoritma ini? Cara termudahnya adalah dengan menggambarkan fungsi matematika dari faktorial terlebih dahulu:

faktorial(n)={1n∗faktorial(n−1)remainder(x,y))if n=1if n>1

Melalui fungsi matematika ini, kita dapat mulai melakukan penurunan untuk fungsi perhitungan langkah fungsi faktorial untuk kasus n>1:

f(n)=1+f(n−1)=1+1+f(n−2)=1+1+1+f(n−3)...=n+f(n−k)

Dan tentunya kita dapat mengabaikan penambahan langkah n di awal, serta dengan syarat bahwa fungsi berhenti ketika n−k=1:

n−kk=1=n−1

Maka dapat disimpulkan bahwa fungsi faktorial memiliki kompleksitas n−1, atau O(n). Ingat bahwa kunci dari perhitungan kompleksitas untuk algoritma rekursif terdapat pada fungsi matematis algoritma dan definisi kapan berhentinya fungsi rekursif tersebut.

Kesimpulan

Fungsi rekursif merupakan fungsi yang memanggil dirinya sendiri. Terdapat dua komponen penting dalam fungsi rekursif, yaitu kondisi kapan berhentinya fungsi dan pengurangan atau pembagian data ketika fungsi memanggil dirinya sendiri. Optimasi fungsi rekursif dapat dilakukan dengan menggunakan teknik tail call, meskipun teknik ini tidak selalu diimplementasikan oleh semua bahasa pemrograman.
Selain sebagai fungsi, konsep rekursif juga terkadang digunakan untuk struktur data seperti binary tree atau list.